字符串的模式匹配是以下的一种常见问题：给定字符串$s$(主串)和$t$(模式串)$(|s|=n,|t|=m,m\leq n)$，求$t$在$s$中第一次出现的位置。如:

$s=”ababcabcacbab”$
$t=\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ “abcac”$
则$t$首次出现在对齐处,即主串的第6位。很容易想到一种枚举的方法(Brute Force)：

BF算法(Brute Force)

BF算法即从$i=1$开始，$i$至多到$n-m+1$，每次将模式串$t$的开始与$s$的第$i$位对齐并进行对照，即比较$s[i…i+m-1]$与$t[1…m]$是否相等。显然，这种算法的最差复杂度当$t$每次都在最后一位与$s$失配时出现，总比较次数$=m(n-m+1)=O(nm)$.

KMP算法

KMP算法通过计算模式串$t$的一些额外信息$(next$数组$)$来避免不必要的必定失配的情况，从而优化时间复杂度。它由Knuth、Morris和Pratt同时提出，故得名KMP算法。

现考虑BF算法在匹配失配时的情况。设$s$与$t$在$s[i],t[j]$处失配，即：
$s[i-j+1…i-1]=t[1..j-1]$
$s[i]\neq t[j]$
按照BF算法，失配后应将$t$右移一位，使得$s[i-j+2]与t[1]$对齐进行下一次匹配。此时，若对于模式串$t$有

$t[1…j-2] \neq t[2…j-1]\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)$，

那么就有

$t[1…j-2] \neq t[2…j-1] = s[i-j+2…i-1]$,

因此

$t[1…j-2] \neq s[i-j+2…i-1]$（可参照下图，相同颜色表示串相同）

图中$s$中橙色框一定与$t_2$（下一次匹配）中的绿框不相等(式$(1)$)，因此下一次匹配一定会在模式串的$1…j-2$处失败$(*)$。
同理，当有$t[1…j-3] \neq t[3…j-1]$时，下下次匹配一定会失败。那么什么时候匹配有可能成功呢？我们需要找到从大到小第一个出现的值$k$,使得$t[1…k] \neq t[j-k…j-1]$而$t[1…k-1]=t[j-k+1…j-1]$，即子串$t[1…j-1]$的最长的相同的前后缀长度+1。

如：$t=”abaabcac”$
当$j=6$时，$t[1…5]$最长相同的前后缀为$”ab”$长为$2$，因此此时$k$值为$3$.

当我们能求出这个$k$的值后，我们就可以推断出下一次可能匹配成功的位置，见下图。

我们已经断定跳过的几次匹配一定会失配，因此我们可以直接将$t[1]$与$s[i-k+1]$对齐,而由相同前后缀的性质，标红框的部分完全相同，因此还可以跳过这一次匹配的$1…k-1$部分，直接将$s[i]$与$t[k]$进行比对。

通过上面的分析，我们可以总结出$k$的一些性质：
$(1)k$只与模式串$t$自己有关，而且是一个关于下标$j$的函数，即$k=next(j);$
$(2)0 \leq next(j) \leq j-1$,它表明$t[1…j]$有长为$next(j)-1$的相同前后缀$;$
$(3)$当不存在相同前后缀时,$next(j)=1;$
$(4)$定义$next(1)=0.$

next数组的求法

$next$数组可通过归纳求得。以下是具体分析:
$(1)next[1]=0;$
$(2)$假设$next[1],next[2],…,next[j]$均已知，现求出$next[j+1].$
设$next[j]=k,$这说明$t[1…j-1]$有长为$k-1$的相同前后缀。

①当$t[k]=t[j]$,那么$t[1…j]$便有长为$k$的相同前后缀。那么$t[1…j]$能否有比$k$更长的相同前后缀呢？答案是不能。如图:

红框圈起来的部分代表$next(j)$所表示的相同前后缀；紫色框表示$t[k]=t[j]$所带来的$t[1…j]$的长为$k$的前后缀。左边的紫框一定不等于绿框，否则$next(j)$便可取到$k+1,$因此两个黄框一定不相等，因为它们前$k$位一个是紫框，一个是绿框。因此当$t[k]=t[j],next(j+1)=k+1=next(j)+1$.

②当$t[k] \neq t[j]$，此时视为模式串$t$与自身匹配，而且$t[k]$和$t[j]$失配。由①可知，只能寻找比$k$更短的相同前后缀。

此时将下面的串不断向右移动，判断重叠部分（即绿框）是否相等，找出最长的相同前后缀。由KMP$(*)$部分可知，可以直接将下面的串的第$k’=next[k]$与上面串的第$j$位比较(否则一定会失配)。如果移动后$t[j]=t[k’],$那么便有$next(j+1)=k’+1=next(k)+1=next(next(j))+1;$如若不然，不断令$k^{(n)}=next(k^{(n-1)})$,直到：
$(a)$$t[j]=t[k^{(n)}]$，则$next(j+1)=k^{(n)}+1.$
$(b)$直至迭代到$k^{(n)}=1$时，$t[j] \neq t[k^{(n)}]$，即上下串仅一位重叠仍不相等(下图)，说明没有公共前后缀，此时令$next(j+1)=1.$

代码实现

-求$next$数组

void GetNext(char *t,int *next)
{
	int i = 1,j = 0;
	while(i<m)//m为模式串长度
	{
		if(j == 0 || t[i] == t[j])
		{
			i++;
			j++;
			next[i] = j;
		}
		else j = next[j];
	}
}

代码中$i$表示当前要求的$next$下标，$j$表示下面的串的第$j$位与上面的串(上一部分图解)尝试进行匹配。
$j == 0$表示当迭代到最后仍然没有公共前后缀的情况，此时$next[++i]=1.$
$t[i]=t[j]$说明当前匹配成功，记录下$next[++i]=j+1$，否则迭代$j$为$next[j]。$

-KMP

int KMP(char *s,char *t)
{
	int i = 1,j = 1;
	while(i<=n && j<=m)
	{
		if(j == 0 || s[i] == t[j])
		{
			i++;
			j++;
		}
		else j = next[j];
	}
	if(j>m) return i-m;
	else return 0;
}

与求$next$数组很相似，当$j=0$时，说明$s[i]$与$t[1]$不相等，此时模式串右移一位将$j$置为$1$，同时$i++$使得模式串从头开始与主串下一位匹配。
当$s[i]==t[j]$时，说明当前位匹配成功，$i,j$均自增。否则$j$迭代为$next[j]$.
当$j>m$时，说明模式串匹配完成，匹配成功位置为$(i-1)-m+1=i-m$（由于$i$在匹配成功时自增了$1$，需要减掉）

KMP算法的复杂度为$O(n+m)=O(n).$

Castria的博客

KMP字符串匹配算法

BF算法(Brute Force)

KMP算法

next数组的求法

代码实现